SPCL Terminale/Traitement du Signal Avance

Traitement du Signal Avance

SPCL TerminaleEssentiel pour le bacApplications industrielles

Duree : 60 min · Difficulte : ⭐⭐⭐⭐

Objectifs du cours

•Distinguer signaux analogiques et numeriques, leurs avantages et limites
•Appliquer le theoreme de Shannon et calculer la frequence d echantillonnage
•Comprendre la conversion A/N et N/A : resolution, pas de quantification
•Analyser les differents types de filtres : passe-bas, passe-haut, passe-bande
•Interpreter un spectre de frequences et comprendre la FFT
•Calculer le rapport signal/bruit en dB et evaluer la qualite d un signal

I. Signaux Analogiques et Numeriques

1.1 Signal analogique

Un signal analogique est une grandeur physique qui varie de maniere continuedans le temps. Il peut prendre une infinite de valeurs dans un intervalle donne.

Exemples de signaux analogiques :

• Tension delivree par un microphone
• Signal de temperature d un capteur
• Onde sonore dans l air
• Signal radio FM/AM

Representation d un signal analogique

  Amplitude
     ^
     |    /\      /\      /\
     |   /  \    /  \    /  \
     |  /    \  /    \  /    \
  ---|--/------\/------\/------\--> t
     | /                        \
     |/
     Variation continue dans le temps

1.2 Signal numerique

Un signal numerique est un signal discret qui ne peut prendre qu un nombre fini de valeurs (quantifie) a des instants definis (echantillonne). Il est code sous forme de nombres binaires (0 et 1).

Representation d un signal numerique

  Amplitude
     ^
     |    ▪       ▪       ▪
     |   ▪ ▪     ▪ ▪     ▪ ▪
     |  ▪   ▪   ▪   ▪   ▪   ▪
  ---|--▪-----▪-----▪-----▪------> t
     | ▪               ▪
     |▪
     Valeurs discretes a intervalles reguliers

1.3 Comparaison analogique vs numerique

Critere	Analogique	Numerique
Valeurs	Infinies (continues)	Finies (discretes)
Sensibilite au bruit	Elevee (degradation)	Faible (regenerable)
Stockage	Difficile, degradation	Facile, sans perte
Traitement	Circuits electroniques	Processeurs, algorithmes
Copie	Perte de qualite	Identique a l original

Pourquoi le numerique domine aujourd hui ?

Le numerique permet un stockage sans degradation, une transmission fiable, un traitement informatique puissant (compression, filtrage, chiffrement) et une reproduction parfaite. C est pourquoi CD, MP3, streaming ont remplace les vinyles et cassettes !

II. Echantillonnage et Theoreme de Shannon

2.1 Principe de l echantillonnage

L echantillonnage consiste a prélèver des valeurs du signal analogique a intervalles de temps reguliers. La periode d echantillonnage T_eest l intervalle entre deux prélèvements.

Frequence d echantillonnage

f_e = 1 / T_e

f_e en Hz, T_e en secondes

2.2 Theoreme de Shannon-Nyquist

Le theoreme de Shannon (ou theoreme de l echantillonnage) etablit la condition pour pouvoir reconstituer parfaitement un signal analogique a partir de ses echantillons :

Theoreme de Shannon

f_e ≥ 2 × f_max

La frequence d echantillonnage doit etre au moins le double de la frequence maximale du signal a numeriser.

Shannon respecte ✓

f_e ≥ 2 × f_max

Le signal peut etre parfaitement reconstruit. Pas de perte d information.

Shannon viole ✗ (Aliasing)

f_e < 2 × f_max

Phenomene de repliement spectral (aliasing). Des frequences parasites apparaissent.

Attention a l aliasing !

L aliasing (ou repliement spectral) cree des frequences fantomes qui n existaient pas dans le signal original. Par exemple, un son aigu peut apparaitre comme un son grave ! C est pourquoi on utilise un filtre anti-aliasing (passe-bas) AVANT l echantillonnage pour eliminer les frequences superieures a f_e/2.

2.3 Exemples de frequences d echantillonnage

Application	f_max du signal	f_e utilisee	Respect Shannon
Telephonie	3.4 kHz	8 kHz	✓ (8 > 2×3.4)
CD Audio	20 kHz	44.1 kHz	✓ (44.1 > 2×20)
DVD Audio	22 kHz	48 kHz	✓ (48 > 2×22)
Audio pro (studio)	24 kHz	96 kHz	✓ (marge confortable)

Pourquoi 44.1 kHz pour les CD ?

L oreille humaine percoit les sons de 20 Hz a 20 kHz. Pour numeriser tout le spectre audible, il faut f_e ≥ 40 kHz. Le choix de 44.1 kHz vient d une contrainte technique liee aux premiers enregistreurs video utilises pour stocker l audio numerique !

III. Conversion Analogique-Numerique (A/N) et Numerique-Analogique (N/A)

3.1 Le Convertisseur Analogique-Numerique (CAN)

Le CAN (ou ADC en anglais) transforme un signal analogique continu en une suite de valeurs numeriques. Cette conversion implique deux operations :

1. Echantillonnage (temps)

Prélèvement de valeurs a intervalles reguliers (frequence f_e). Transforme le signal continu en signal discret dans le temps.

2. Quantification (amplitude)

Chaque valeur echantillonnee est arrondie au niveau le plus proche parmi un nombre fini de niveaux. Introduit une erreur de quantification.

3.2 Resolution et pas de quantification

La resolution d un CAN est le nombre de bits utilises pour coder chaque echantillon. Elle determine la precision de la conversion.

Formules fondamentales

Nombre de niveaux de quantification :

N = 2ⁿ

ou n = nombre de bits

Pas de quantification (quantum) :

q = U_max / 2ⁿ

ou U_max = pleine echelle du convertisseur

Erreur de quantification maximale :

ε_max = q / 2

L erreur est toujours inferieure a la moitie du pas

3.3 Exemples de resolution

Resolution	Niveaux (2ⁿ)	Pas (si U_max=5V)	Application typique
8 bits	256	19.5 mV	Audio basse qualite, capteurs simples
10 bits	1 024	4.88 mV	Arduino, microcontroleurs
12 bits	4 096	1.22 mV	Instrumentation, acquisition
16 bits	65 536	76.3 μV	CD Audio
24 bits	16.7 millions	0.3 μV	Audio professionnel, studio

3.4 Le Convertisseur Numerique-Analogique (CNA)

Le CNA (ou DAC) fait l operation inverse : il reconstitue un signal analogique a partir des valeurs numeriques. C est lui qui permet d ecouter de la musique numerique sur des haut-parleurs analogiques !

Chaine de conversion complete

Signal

analogique

→

Filtre

anti-aliasing

→

CAN

(A/N)

→

Traitement

numerique

→

CNA

(N/A)

→

Filtre

lissage

Exemple de calcul

Un CAN 12 bits avec U_max = 3.3V mesure une tension de 2.1V. Quelle est la valeur numerique ?
q = 3.3 / 4096 = 0.806 mV
N = 2.1 / 0.000806 = 2605 (arrondi)
En binaire : 101000101101

IV. Filtrage des Signaux

Un filtre est un dispositif qui laisse passer certaines frequences et en attenue d autres. Il permet de selectionner les composantes frequentielles utiles d un signal et d eliminer le bruit ou les parasites.

4.1 Filtre passe-bas

Laisse passer les basses frequences (inferieures a la frequence de coupure f_c) et attenue les hautes frequences.

Gain = 1 pour f < f_c | Gain → 0 pour f >> f_c

Applications : Anti-aliasing avant CAN, debruitage audio, lissage de mesures

Gain |▓▓▓▓▓▓▓ |▓▓▓▓▓▓▓\ |▓▓▓▓▓▓▓ \ |▓▓▓▓▓▓▓ \___________ +--------fc-----------> f Bande Bande passante coupee

4.2 Filtre passe-haut

Laisse passer les hautes frequences (superieures a f_c) et attenue les basses frequences.

Gain → 0 pour f << f_c | Gain = 1 pour f > f_c

Applications : Elimination de la composante continue (DC), suppression du 50 Hz secteur, filtre de tweeter (hauts-parleurs aigus)

Gain | ▓▓▓▓▓▓▓▓ | /▓▓▓▓▓▓▓▓ | / ▓▓▓▓▓▓▓▓ |_________/ ▓▓▓▓▓▓▓▓ +--------fc-----------> f Bande Bande coupee passante

4.3 Filtre passe-bande

Laisse passer une bande de frequences entre f_c1 et f_c2, et attenue les frequences en dehors de cette bande.

Bande passante : BP = f_c2 - f_c1

Applications : Selection d une station radio, isolation d un instrument dans un mix, egaliseur audio

Gain | ▓▓▓▓▓▓▓ | /▓▓▓▓▓▓▓\ | / ▓▓▓▓▓▓▓ \ |____/ ▓▓▓▓▓▓▓ \____ +---fc1------fc2------> f Bande Bande Bande coupee passante coupee

4.4 Filtre coupe-bande (rejecteur)

Attenue une bande de frequences specifique et laisse passer le reste. Inverse du passe-bande.

Applications : Elimination du 50/60 Hz secteur (filtre notch), suppression de frequences parasites

4.5 Frequence de coupure et ordre du filtre

La frequence de coupure f_c est la frequence a laquelle le gain du filtre est reduit a -3 dB (soit environ 70.7% du gain maximal, ou puissance divisee par 2).

Frequence de coupure d un filtre RC

f_c = 1 / (2π × R × C)

R en ohms, C en farads, f_c en hertz

Ordre du filtre	Pente d attenuation	Selectivite
1er ordre	-20 dB/decade	Faible (transition douce)
2eme ordre	-40 dB/decade	Moyenne
4eme ordre	-80 dB/decade	Elevee (transition abrupte)

V. Analyse Spectrale et FFT

5.1 Domaine temporel vs domaine frequentiel

Un signal peut etre represente de deux manieres equivalentes mais complementaires :

Domaine temporel

Representation de l amplitude en fonction du temps.

Ce que vous voyez sur un oscilloscope classique.

Domaine frequentiel (spectre)

Representation de l amplitude en fonction de la frequence.

Ce que vous voyez sur un analyseur de spectre.

5.2 Decomposition de Fourier

Tout signal periodique peut etre decompose en une somme de sinusoides(series de Fourier) : une frequence fondamentale f₀ et ses harmoniques (2f₀, 3f₀, etc.).

Exemple : Signal carre

Temporel

┌───┐ ┌───┐ │ │ │ │ ────┘ └───┘ └───

Spectral (FFT)

Amplitude |█ |█ █ |█ █ █ |█ █ █ █ +--f0-3f0-5f0-7f0-> f (harmoniques impaires)

5.3 La Transformee de Fourier Rapide (FFT)

La FFT (Fast Fourier Transform) est un algorithme optimise qui calcule efficacement le spectre de frequences d un signal numerique. Elle est presente dans tous les analyseurs de spectre, logiciels audio, oscilloscopes numeriques...

Parametres de la FFT

Resolution frequentielle :

Δf = f_e / N

N = nombre d echantillons

Frequence maximale observable :

f_max = f_e / 2

(critere de Nyquist)

5.4 Lecture d un spectre

Element du spectre	Information	Exemple
Pic principal	Frequence fondamentale f₀	La 440 Hz → pic a 440 Hz
Harmoniques	Multiples entiers de f₀	880 Hz, 1320 Hz, 1760 Hz...
Amplitude des pics	Intensite de chaque composante	Timbre de l instrument
Plancher de bruit	Niveau de bruit ambiant	Ligne de base du spectre

Applications de l analyse spectrale

• Audio : Egaliseur, accordeur, analyse vocale
• Vibrations : Detection de defauts mecaniques (roulements, engrenages)
• Telecommunications : Analyse de la bande passante, detection d interference
• Medical : Analyse EEG, ECG, echographie

VI. Rapport Signal/Bruit (S/N ou SNR)

6.1 Definition

Le rapport signal/bruit (Signal-to-Noise Ratio, SNR) mesure la qualite d un signal en comparant la puissance du signal utile a celle du bruit parasite. Plus il est élève, meilleure est la qualite.

Formules du rapport S/N

En puissance (lineaire) :

SNR = P_signal / P_bruit

En decibels (logarithmique) :

SNR_dB = 10 × log₁₀(P_s/P_b)

Formule avec tensions

SNR_dB = 20 × log₁₀(U_signal / U_bruit)

Le facteur 20 vient du fait que P ∝ U²

6.2 Interpretation du SNR

SNR (dB)	Qualite	Exemple
< 10 dB	Tres mauvais	Signal noye dans le bruit, inexploitable
10-20 dB	Mauvais	Signal perceptible mais tres degrade
20-40 dB	Acceptable	Telephonie, voix compréhensible
40-60 dB	Bon	Radio FM, TV analogique
60-90 dB	Excellent	CD audio (96 dB theorique en 16 bits)
> 90 dB	Studio pro	Materiel de studio (24 bits = 144 dB theo.)

6.3 SNR et resolution du CAN

Le bruit de quantification limite le SNR maximal atteignable. Plus la resolution est élèvee, meilleur est le SNR potentiel.

SNR theorique d un CAN ideal

SNR_max = 6.02 × n + 1.76 dB

n = nombre de bits du CAN

Resolution	SNR theorique	Dynamique
8 bits	49.9 dB	256 niveaux
12 bits	74.0 dB	4 096 niveaux
16 bits	98.1 dB	65 536 niveaux (CD)
24 bits	146.2 dB	16.7 millions niveaux

Exercice type bac

Un capteur delivre une tension de 2.5 V avec un bruit de 5 mV. Calculer le SNR en dB.
SNR = 20 × log₁₀(2.5 / 0.005) = 20 × log₁₀(500) = 20 × 2.7 = 54 dB

VII. Applications du Traitement du Signal

Audio et Musique

• Compression audio : MP3, AAC, FLAC
• Egaliseur : modification du spectre frequentiel
• Reduction de bruit : filtrage adaptatif
• Effets : reverb, echo, pitch-shifting
• Synthese sonore : generation de sons

Telecommunications

• Modulation : AM, FM, QAM, OFDM
• Codage : correction d erreurs
• Multiplexage : partage de la bande passante
• 4G/5G : MIMO, beamforming
• WiFi/Bluetooth : etalement de spectre

Instrumentation

• Oscilloscopes numeriques : visualisation
• Analyseurs de spectre : FFT en temps reel
• Capteurs intelligents : conditionnement du signal
• Analyse vibratoire : maintenance predictive
• Radar/Sonar : detection et localisation

Medical

• ECG/EEG : analyse des signaux biologiques
• Imagerie : IRM, scanner, echographie
• Monitoring : surveillance des patients
• Protheses auditives : traitement en temps reel
• Detection d anomalies : IA + signal

Exemple concret : La chaine audio numerique

Micro

Analogique

→

Preampli

Analogique

→

Filtre

Anti-alias

→

CAN

24 bits/96 kHz

→

DSP

Traitement

→

CNA

N/A

→

Ampli

Analogique

→

Analogique

Chiffres cles a retenir

f_e ≥ 2f_max

Theoreme de Shannon

44.1 kHz

Echantillonnage CD

16 bits

Resolution CD Audio

-3 dB

Frequence de coupure

Resume

Analogique vs Numerique : signal continu vs discret ; numerique = robuste, stockable, traitable
Shannon : f_e ≥ 2 × f_max pour eviter l aliasing
CAN : echantillonnage + quantification ; resolution en bits, pas q = U_max/2ⁿ
Filtres : passe-bas (f < f_c), passe-haut (f > f_c), passe-bande (f_c1 < f < f_c2)
FFT : decomposition spectrale rapide ; Δf = f_e/N
SNR : qualite du signal ; SNR_dB = 20 × log₁₀(U_s/U_b)

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