Électronique & Automatisme

Traitement du Signal

Du signal brut à l'information utile : filtrage, analyse spectrale et régulation.

Objectifs du Chapitre

Caractériser un signal périodique

Comprendre le filtrage analogique et numérique

Appliquer la transformée de Fourier (FFT)

Connaître les principes de régulation

Utiliser les régulateurs PID

Interpréter des acquisitions numériques

I. Caractérisation des Signaux

1.1 Signal sinusoïdal

s(t) = A × sin(2πft + φ)

Amplitude (V)

Fréquence (Hz)

T = 1/f

Période (s)

Phase (rad)

1.2 Valeurs caractéristiques

Valeur efficace (RMS)

V_eff = A / √2 ≈ 0,707 × A

Pour un signal sinusoïdal

Valeur crête-crête

V_pp = 2 × A

Valeur moyenne

V_moy = (1/T) × ∫s(t)dt

= 0 pour un signal alternatif pur

Pulsation

ω = 2πf (rad/s)

II. Filtrage

2.1 Types de filtres

Passe-bas

Laisse passer f < f_c. Lisse le signal, élimine le bruit HF.

Passe-haut

Laisse passer f > f_c. Élimine la composante continue.

Passe-bande

Laisse passer f₁ < f < f₂. Sélection d'une plage.

Coupe-bande (Notch)

Élimine une fréquence précise (ex: 50 Hz secteur).

2.2 Caractéristiques

Fréquence de coupure f_c

Fréquence à -3 dB (gain = 0,707). G(f_c) = G_max/√2

Pente d'atténuation

-20 dB/décade par ordre. Ordre 1 : -20 dB/déc, Ordre 2 : -40 dB/déc.

2.3 Filtre RC passe-bas (ordre 1)

f_c = 1 / (2πRC)|τ = RC

Exemple : R = 10 kΩ, C = 100 nF → f_c ≈ 159 Hz

III. Analyse Spectrale (FFT)

Principe de Fourier

Tout signal périodique peut se décomposer en une somme de sinusoïdes (fondamentale + harmoniques).

s(t) = a₀ + Σ[aₙcos(nωt) + bₙsin(nωt)]

FFT (Fast Fourier Transform)

Algorithme rapide pour calculer le spectre d'un signal numérisé. Passe du domaine temporel au domaine fréquentiel.

Résolution fréquentielle

Δf = f_e / N

N = nombre d'échantillons

Fréquence max analysable

f_max = f_e / 2

Critère de Nyquist

Applications de l'analyse spectrale

• Détection de vibrations anormales (maintenance prédictive)
• Analyse de qualité du réseau électrique (harmoniques)
• Traitement audio (égaliseur, compression)
• Diagnostic moteur (spectre des vibrations)

IV. Régulation et Automatisme

4.1 Boucle de régulation

Consigne→Σ→Régulateur→Actionneur→Procédé→Sortie

↑ Retour capteur (mesure) ← ← ← ←

4.2 Régulateur PID

u(t) = K_p × e + K_i × ∫e dt + K_d × de/dt

P (Proportionnel)

Réagit à l'erreur actuelle. Rapide mais laisse une erreur résiduelle.

I (Intégral)

Annule l'erreur statique. Lent, peut provoquer des oscillations.

D (Dérivé)

Anticipe les variations. Stabilise mais sensible au bruit.

4.3 Performances

Temps de montée

Temps pour passer de 10% à 90% de la valeur finale.

Dépassement

Écart max au-dessus de la consigne (overshoot).

Temps de stabilisation

Temps pour rester dans ±5% de la consigne.

Erreur statique

Écart résiduel en régime établi.

V. Pièges à Éviter

❌ Repliement spectral (aliasing)

Si f_e < 2×f_signal, fréquences parasites apparaissent. Toujours filtrer avant CAN.

❌ Gain d'intégrateur trop élevé

Oscillations et instabilité. Augmenter K_i progressivement.

❌ Confondre dB et rapport linéaire

-3 dB = 0,707 (pas 0,5 !). -6 dB ≈ 0,5. -20 dB = 0,1.

❌ Fenêtrage FFT négligé

Sans fenêtre (Hanning, Hamming), fuites spectrales apparaissent aux bords.

Points Clés à Retenir

Signal : A, f, T, V_eff = A/√2

Filtre : f_c = 1/(2πRC), -3 dB à f_c

FFT : Δf = f_e/N, f_max = f_e/2

PID : P rapide, I précis, D stabilisant

Shannon : f_e ≥ 2×f_max

Boucle fermée : consigne - retour = erreur

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